Как находится дискриминант

Одним из важных понятий в алгебре, особенно при решении квадратных уравнений, является **дискриминант**. Эта величина помогает определить количество и тип корней уравнения, а также их свойства. В этой статье мы подробно рассмотрим, что такое дискриминант, как он вычисляется и зачем он нужен.

Определение дискриминанта

Дискриминант обозначается буквой D и вычисляется для квадратного уравнения вида:

ax² + bx + c = 0,

где a, b, c — коэффициенты, а x — переменная. Для данного уравнения дискриминант вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac.

Зачем нужен дискриминант

Значение дискриминанта, который мы вычисляем, позволяет судить о видах корней квадратного уравнения:

  • D > 0: Уравнение имеет два различных действительных корня.
  • D = 0: Уравнение имеет один (повторяющийся) действительный корень.
  • D < 0: Уравнение не имеет действительных корней, а имеет два комплексных корня.

Примеры нахождения дискриминанта

Рассмотрим пример, чтобы лучше понять, как находится **дискриминант**:

Допустим, у нас есть уравнение:

2x² + 3x — 5 = 0.

Здесь коэффициенты равны: a = 2, b = 3, c = -5. Теперь подставим значения в формулу дискриминанта:

D = 3² — 4 * 2 * (-5)

D = 9 + 40 = 49.

Так как D = 49 > 0, это значит, что у нас есть два различных действительных корня. Теперь мы можем найти эти корни с помощью формулы:

x = (-b ± √D) / 2a.

Подставляя значения, находим:

x₁ = (-3 + √49) / (2 * 2) = 2,

x₂ = (-3 — √49) / (2 * 2) = -2.5.

Примеры для разных значений дискриминанта

Рассмотрим еще три примера для различных значений дискриминанта:

  1. Уравнение: x² — 4x + 4 = 0

    2. Здесь a = 1, b = -4, c = 4. Вычисляем дискриминант:

    D = (-4)² — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0.

    Так как D = 0, уравнение имеет один (повторяющийся) действительный корень: x = 2.

  2. Уравнение: x² + 2x + 5 = 0

    3. Здесь a = 1, b = 2, c = 5. Вычисляем дискриминант:

    D = 2² — 4 * 1 * 5 = 4 — 20 = -16.

    Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня.

  3. Уравнение: 3x² — 2x — 1 = 0

    4. Здесь a = 3, b = -2, c = -1. Вычисляем дискриминант:

    D = (-2)² — 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16.

    Так как D = 16 > 0, у уравнения есть два различных действительных корня.

Заключение

В заключение, **дискриминант** является важным инструментом для анализа квадратных уравнений. Зная его, вы можете легко определить количество и тип корней уравнения, а также сделать выводы о їх свойствах. Это значительно упрощает решение уравнений и помогает лучше понять их закономерности.